Regresión logística sin predictores

\[logit(p) = \beta_{0}\]

El modelo sin predictores nos permite conocer la probabilidad de votar. En este caso, vemos que se obtiene un intercepto de 0.71 correspondiente a \(log(p/1-p)\). En este caso \(p\) es la probabilidad de que una persona participe en las elecciones como votante (voto = 1). Miremos nuevamente la distribución de la participación electoral:

knitr::kable(sjmisc::frq(enacoes$voto,show.na = F, title = F))

Entonces, tenemos que \(p =1325/1974 = .67\). Por tanto, la odds calculadas corresponden a 0.67/(1-0.67) =2.03, lo cual en unidades de log(odds) corresponde al valore del intercepto que es 0.71. En otras palabras el intercepto del modelo sin predictores nos entrega la log-odds de votar en las elecciones. Adicionalmente, podemos transformar nuevamente a unidades de probabilidad de la siguiente manera: p = exp(0.71)/(1 + exp(0.71))= 0.67.

Regresión logistica con variable binaria como predictor

\[logit(p) = \beta_0 + \beta_{mujer}\]

El modelo con un predictor binario como sexo nos permite estimar la probabilidad de votar para las mujeres (sexo = 1), respecto a los hombres (sexo = 0). En este caso, los resultados muestran el valor del intercepto (0.77) y para sexo (-0.10). Antes de interpretar, demos una mirada a la distribución de la participación electoral según sexo:

##         sexo Hombre Mujer
## voto                     
## No votó         254   395
## Votó            549   776

En nuestros datos, ¿cuáles son las chances (odds) de votar para los hombres y para las mujeres? Con la información de la tabla de contingencia podemos realizar los cálculos manualmente: para los hombres (sexo = 0), las odds de votar son (549/803)/(254/803) = 0.683 /0.316 = 2.16. A su vez, para las mujeres, las odds de votar son (776/1171)/(395/1171) = 0.662/0.337 = 1.96. Entonces, las odds ratio para las mujeres respecto de los hombres es (776/395)/(549/254) = (776x254)/(549x395) = 0.907. Por tanto, por cada hombre que vota, votan 0,9 mujeres, o por cada 10 hombres que votan, votan 9 mujeres.

Ahora, si observamos los resultados de la tabla de regresión vemos que el intercepto es 0.77, el cual representa las log-odds para los hombres en tanto corresponde a la categoría de referencia (sexo = 0). Usando las odds de votar para los hombres calculada en el apartado anterior, podemos confirmarlo: log(2.16) = 0.77. A su vez, el log-odds para las mujeres corresponde al log del odds-ratio de las odds de las mujeres y de los hombres calculado anteriormente: log(0.907) = -0.10. El output tradicional de R cuando usamos glm() nos entrega los coeficientes en unidades de log-odds, por tanto es necesario realizar la exponenciación de dichos coeficientes para realizar la interpretación en unidades de odds-ratio.

Regresión logística con variable continua como predictor

\[logit(p) = \beta_0 + \beta_{edad}\]

Ahora, estimaremos un modelo empleando la edad como predictor continuo. En este caso, el intercepto corresponde a los log-odds de una persona con “edad 0”. En otras palabras, las odds de votar cuando se tiene edad 0 es exp(-1.07) = 0.343. Lo importante es que si observamos la distribución de la variable edad, vemos que el valor mínimo es 18 años, por tanto, sabemos que este coeficiente no posee una interpretación sustantiva directamente. Lo más relevante es que el intercepto en ese modelo corresponde a los log-odds de votar en el hipotético caso de tener edad cero.

Entonces, ¿cómo interpretamos el coeficiente de edad?. Para esto, lo ideal es tener en cuenta todos los valores de la ecuación:

\[logit(p) = -1.07 + 0.04 \times edad\]

Una manera de hacerlo es fijar edad en algún valor, por ejemplo un sujeto de con 54 años. Entonces, el valor del log-odds para una persona con 54 años es:

\(logit(p_{edad54}) = -1.07 + 0.04 \times 54 = 1.09\)

Ahora, el valor de los log-odds para una persona con 55 años es:

\(logit(p_{edad55}) = -1.07 + 0.04 \times 55 = 1.13\)

Entonces, podemos decir que el coeficiente para edad es la diferencia en el log-odds. En otras palabras, por una unidad de incremento en edad (1 año), el cambio esperado en los log-odds es de 0.04.

Ahora, ¿cómo traducimos este cambio en odds?. Tenemos que:

\(\exp(logit(p_{edad55})-logit(p_{edad54}) = \frac{\exp(logit(p_{edad55}))}{\exp(logit(p_{edad55}))}= \frac{\exp(1.13)}{\exp(1.09)}=\frac{3.09}{2.97} = 1.04\)

Finalmente, podemos decir que por el incremento de una unidad en edad (1 año), se espera ver un incremento aproximado de un 4% en las odds de ir a votar. Este porcentaje no depende de los valores en los cuales se mantenga edad.

Regresión logística con múltiples predictores

\[logit(p) = \beta_0 + \beta_{\text{mujer}}+ \beta_{\text{edad}}+ \beta_{\text{prim}}+ \beta_{\text{secu}}+ \beta_{\text{técn}}+ \beta_{\text{univ}}\]

Este ejemplo representa el modelo multivariado para participación electoral. Cada coeficiente prepresenta el cambio predicho en el log-odds de votar por un incremento/cambio en la variable, manteniendo todas las demás variables constantes. Cada coeficiente exponenciado (exp), representa el ratio de dos odds (por ejemplo, mujer respecto a hombre), o el cambio en las odds por el incremento de una unidad de la variable independiente (por ejemplo, un año de edad), manteniendo las demás variables constantes.

Entonces, si observamos el coeficiente de sexo en el Modelo 3, vemos que el odds-ratio de las mujeres sobre los hombres es de exp(-0.02)= 0.98, es decir que las odds de votar en las elecciones son 1,9% (exp(-0.02)-1 = 0.98-1) más bajas para las mujeres respecto a los hombres, manteniendo edad y el nivel educacional constante.

La variable nivel educacional posee 5 niveles, donde “Primaria incompleta o menos” es la categoría de referencia, por tanto, los coeficientes se deben interpretar respecto dicha categoría. Por ejemplo, tenemos que el odds-ratio para Primaria es de exp(0.34) = 1.40, por lo tanto las odds de votar en las elecciones son 40% (exp(-0.02)-1 = 1.40-1) más altas para las personas que completaron la educación primaria respecto a quienes tienen educación primaria incompleta o menos, manteniendo sexo y edad en valores constantes.

Ahora, observando el log-odds para las personas son educación Universitaria o postgrado podemos calcular que el odds-ratio para esta categoría es de exp(1.53) = 4.61, lo cual nos indica que las odds de votar son 361% exp(1.53)-1 = 4.61-1 más altas para las personas con educación universitaria o postgrado respecto a quienes tienen educación primaria incompleta o menos, manteniendo sexo y edad en valores constantes.

Otra alternativa de interpretación es a través del cálculo de las probabilidades predichas. Por ejemplo ¿cuál es la probabilidad de votar según los distintos niveles educacionales manteniendo constante sexo y edad?. En este caso usaremos una persona hipotética que es mujer (sexo=1) de 55 años.

Tenemos nuestros coeficientes para el Modelo 3:

m03$coefficients

## (Intercept)       sexo1        edad       educ2       educ3       educ4 
## -2.03578412 -0.02351809  0.04911213  0.33653007  0.46911435  0.88442909 
##       educ5 
##  1.52605507

Calculamos las log-odds para cada caso:

        # Intercept     sexo*1    edad*55    educ2       educ3      educ4      educ5
ed01<- -2.03578412+(-0.0235*1)+(0.0491*55)+(0.3365*0)+(0.4691*0)+(0.8844*0)+(1.5260*0) # mujer 55 anios Primaria incompleta
ed02<- -2.03578412+(-0.0235*1)+(0.0491*55)+(0.3365*1)+(0.4691*0)+(0.8844*0)+(1.5260*0) # mujer 55 anios Primaria
ed03<- -2.03578412+(-0.0235*1)+(0.0491*55)+(0.3365*0)+(0.4691*1)+(0.8844*0)+(1.5260*0) # mujer 55 anios Secundaria
ed04<- -2.03578412+(-0.0235*1)+(0.0491*55)+(0.3365*0)+(0.4691*0)+(0.8844*1)+(1.5260*0) # mujer 55 anios Tecnica
ed05<- -2.03578412+(-0.0235*1)+(0.0491*55)+(0.3365*0)+(0.4691*0)+(0.8844*0)+(1.5260*1) # mujer 55 anios Universitaria

Calculamos las probabilidades predichas de la siguiente manera:

\[\text{Probabilidad}= \frac{\exp(\beta_0+\beta_jX_j)}{1+\exp(\beta_0+\beta_jX_j)} = \frac{\text{Odds}}{1+\text{Odds}}\]

pr.ed01<- exp(ed01)/(1+exp(ed01))
pr.ed02<- exp(ed02)/(1+exp(ed02))
pr.ed03<- exp(ed03)/(1+exp(ed03))
pr.ed04<- exp(ed04)/(1+exp(ed04))
pr.ed05<- exp(ed05)/(1+exp(ed05))

Finalmente, se presenta la tabla resumen a continuación:

as.data.frame(rbind(c(ed01,exp(ed01),pr.ed01),
                    c(ed02,exp(ed02),pr.ed02),
                    c(ed03,exp(ed03),pr.ed03),
                    c(ed04,exp(ed04),pr.ed04),
                    c(ed05,exp(ed05),pr.ed05))) %>%
  rename("log-odds"=V1,
         "exp(log-odds)"=V2,
         "exp(odds)/(1-exp(odds)" =V3) %>%
  mutate("Nivel educacional"=c("Primaria incompleta o menos","Primaria","Secundaria","Técnica","Univsersitaria")) %>%
  select("Nivel educacional", everything()) %>%
  knitr::kable(digits = 3, row.names = F)

La librería sjPlot posee la función plot_model() la cual, dentro de otras cosas, nos permite visualizar las probabilidades predichas para un modelo de regresión logística.

plot_model(m03,type = "pred",
           terms = "educ",
           title = "Probabilidades predichas para Voto según nivel educacional") + geom_line()

En conjunto, podemos observar que en la medida que aumenta el nivel educacional de las personas, la probabilidad de que participen en las elecciones tiende a ser mayor, manteniendo edad y sexo constante.